Вимірювання моменту інерції тіла (варіант 2) – МАНЛаб


Вимірювання моменту інерції тіла (варіант 2)

Чернецький Ігор
Автор Чернецький Ігор
Завідувач відділу створення навчально-тематичних систем знань НЦ «Мала академія наук України», кандидат педагогічних наук, голова Всеукраїнської громадської організації «Асоціація учителів фізики “Шлях освіти – ХХІ”». Наукові інтереси: моделювання освітніх та навчальних середовищ загальноосвітніх і позашкільних навчальних закладів з урахуванням трендів розвитку сучасних засобів навчання.

Завдання роботи:

  1. Провести чотири експерименти з диском, який обертається на осі під дією вантажу, що опускається, та створити відеозапис руху системи.
  2. Визначити прискорення руху вантажу, кутове прискорення диска в кожному випадку.
  3. Розрахувати момент сил, що приводять диск у обертання в кожному випадку.
  4. Побудувати графік залежності моменту сил від кутового прискорення.
  5. Розрахувати за графіком момент інерції диска та момент сил тертя на осі диска.

Обладнання:

модель гіроскопа із закріпленою віссю обертання, висока підставка, набірний вантаж, лінійка, нитка, ПК, цифровий фотоапарат або відеокамера, Tracker (http://physlets.org/tracker/), Excel.

Теоретична частина

Рис. 1. Зовнішній вигляд вікна програми Tracker

У цій роботі зазначене програмне забезпечення буде використовуватися для визначення моменту інерції диска із закріпленою віссю обертання. Диск приводиться в рух завдяки вантажу, що опускається під дією сили земного тяжіння. Вантаж з’єднаний ниткою зі шківом, який закріплено на диску. Радіус шківа – 2,2 см. У роботі використовується набірний вантаж, маса якого збільшується на 50 г у кожному експерименті.

На тягарець діють сила тяжіння mg і сила натягу нитки T. У проекціях на напрямок прискорення тягарця отримаємо рівняння руху тягарця у скалярній формі:

ma = mgT (1).

За ІІІ законом Ньютона, на шків діє протилежно спрямована сила, модуль якої дорівнює модулю сили T. Сила T створює момент сили, що діє на шків. Момент цієї сили відносно осі обертання шківа дорівнює

M = T r  (2),

де r – радіус шківа.

Обертання диска визначається моментом сили натягу нитки М і моментом сил тертя Мтр, що дає змогу записати основне рівняння обертального руху у вигляді:

Iε = MМтр  (3),

де εкутове прискорення диска.

З рівнянь (1) та (2) одержимо момент сили натягу нитки відносно осі обертання:

M = m(g a)r (4).

Перепишемо рівняння (3) у зручному для перевірки вигляді:

M = Мтр + Iε (5).

Цей вираз означає, що залежністю M(ε) є пряма лінія, кутовий коефіцієнт k якої чисельно дорівнює моменту інерції системи:

(6)

а точка перетину прямої з віссю M відповідає моменту сил тертя Mтр , що ілюструє рис. 2.

Рис.2. Залежність моменту сил від кутового прискорення

Маючи в розпорядженні набірний вантаж, можна в достатньо широких межах змінювати масу m, а значить і величину М. Тобто можна експериментально отримати залежність  M(ε), побудувати графік, отримати лінію тренду в математичних таблицях, розрахувати момент інерції диска I та момент сил тертя Mтр.

Хід роботи

Частина 1. Отримання відеозапису 

  1. Установіть високу підставку та на неї – модель гіроскопа. Закріпіть у площині обертання вертикально лінійку з добре помітними поділками. Доберіть довжину нитки так, щоб при досягненні поверхні столу вона від’єднувалася від шківа.
  2. Оберіть пристрій, яким ви будете виконувати відеозйомку. З’ясуйте якість об’єктива для подальшого врахування можливих спотворень. Використайте стандартну частоту зйомки відео (30-60 кадрів на секунду).
  3. Установіть пристрій так, щоб установка повністю потрапляла в кадр і в процесі зйомки пристрій не рухався.
  4. Доберіть перший вантаж, намотайте нитку на шків.
  5. Розпочніть запис відео та вільно відпустіть диск.
  6. Зробіть ще три записи, збільшуючи масу вантажу.
  7. У разі відсутності можливості відеозапису завантажте готове відео з ресурсу. 

Частина 2. Опрацювання відео 

  1. Завантажте відео у програму Tracker. Завантаження здійснюється з використанням кнопки Open у верхньому меню програми.
  1. Завантаження можна здійснити також шляхом «перетягування» файлу запису у вікно програми або через меню File → Import → Video. Якщо програма не дозволила завантажити відео, необхідно дібрати інший його формат, що здійснюється шляхом використання редакторів відео.
  2. Використовуючи кнопки керування в нижній частині вікна з відео, перегляньте запис.
  3. Якщо об’єктив пристрою для зйомки дає спотворення зображення, використайте відповідний фільтр відео.
  1. Установіть номер кадру, з якого розпочався рух системи, та номер кадру, коли вантаж майже торкнувся поверхні столу. Лічильник кадрів розташований у стрічці кнопок керування у вікні відеозапису.
  2. Оберіть у верхній стрічці кнопку Clip Settings . Випаде вікно встановлення меж кадрів відеозапису. Зазначте в ньому номер початкового та кінцевого кадру, крок зміни кадрів (якщо кадрів багато, то крок дає змогу зменшити кількість кадрів для аналізу) та частоту зйомки (за замовчуванням програма сама обирає цей параметр із властивостей відеозапису). Оберіть Ok.
  3. Оберіть у верхній стрічці кнопку Show or hide the coordinate axes  . На відеозаписі з’являться осі координат. Центр системи координат перетягніть у точку, що якнайкраще відповідатиме ситуації. Наприклад сумістіть її з віссю обертання диску. Повторно оберіть кнопку Show or hide the coordinate axes  . Система координат зникне, але її положення програма запам’ятовує.

Рис. 3. Вигляд вікна програми Tracker після встановлення положення системи координат

  1. Оберіть у верхній стрічці кнопку Show, hide or create calibration tools  та в меню – New → Calibration Stick. Програма запропонує, утримуючи клавішу Shift, обрати на зображенні першу та другу точку для одиничного відрізка. На відео з’явиться відрізок. Над відрізком необхідно в цифровому полі ввести значення довжини цього відрізка в метричній системі. Кінці відрізка можна вільно переміщувати «перетягуванням» по зображенню. Оберіть повторно кнопку Show, hide or create calibration tools . Одиничний відрізок зникне, але програма запам’ятає його положення та довжину.

Рис. 4. Вигляд вікна програми Tracker після встановлення одиничного відрізка

  1. У програмі буде відстежуватися рух двох точок: одна з них суміщена з вантажем, що опускається, друга – з поміткою на диску. Для відстежування руху першої точки оберіть у верхньому меню кнопку Create і у меню – Point Mass.
  2. У лівому кутку з’явиться вікно Track Control.
  3. Натисніть клавішу Shift. Курсор набуде вигляду невеликої рамки. Сумістіть цю рамку з точкою на вантажі, за якою ви буде стежити, і натисніть ліву кнопку маніпулятора. На зображенні з’явиться маркер точки і програма автоматично перейде на наступний кадр. Повторюйте ці кроки до останнього обраного кадру.

Рис. 5. Вигляд вікна програми Tracker після відстежування руху тіла

  1. У вікнах правої частини з’являться графік і таблиця, з якими надалі буде проводитися аналіз отриманих даних.
  2. Для відстежування руху точки на диску знову оберіть у верхньому меню кнопку Create і у меню – Point Mass.
  3. У вікні Track Control з’явиться ще один напис mass B.
  4. Поверніться на перший кадр і повторіть відстежування помітки на диску до останнього кадру.
  5. У верхній частині меню оберіть посилання Coordinate System – Units. У вікні, що з’явиться, вкажіть на вимірювання кутів у радіанах. Якщо вісь координат Ох обрана горизонтально, то вікно програми матиме такий вигляд, як на рис. 5.

Аналіз даних

  1. Для визначення прискорення руху набірного вантажу в полі графіка вікна програми оберіть вкладинку mass A та біля вертикальної осі координат – y.
  2. Оберіть у верхньому меню View → Data Tool (Analyze…). З’явиться нове вікно Data Tool з графіком і таблицею.

Рис. 6. Вигляд вікна Data Tool після накладання параболи

  1. Оскільки графік y(t) є частиною параболи, то рух, який він описує, буде рівноприскореним. Рівняння руху тіла в такому випадку матиме вигляд квадратичної функції y(t) = at2/2 + v0t + y0 . У загальному вигляді функція має запис f(x) = Ax2 + Bx + C . Бачимо, що коефіцієнт A = a/2 , а В = v0. Звідси прискорення a = 2A.  Для визначення прискорення руху тіла необхідно знайти коефіцієнт А і помножити його на 2. Для визначення коефіцієнтів накладемо на графік параболу.
  2. Оберіть вкладинку Analyse → Curve Fits та в нижній частині вікна Fit Name → Parabola. Поверх графіку руху з’явилася парабола та під нею – значення коефіцієнтів. Зверніть увагу на те, щоб біля надпису Autofit обов’язково стояв маркер. Це означає, що програма самостійно добере положення параболи.
  3. Розрахуйте прискорення руху тіла за коефіцієнтом А. Запис значення коефіцієнта здійснюється у стандартному вигляді. Знак біля коефіцієнта зумовлений напрямком осі. Для подальших розрахунків важливий тільки його модуль. Запишіть значення прискорення до таблиці.
  4. Закрийте вікно Data Tool та у вікні графіка оберіть mass B. Біля вертикальної осі оберіть кут повороту θ.
  5. Відкрийте вікно Data Tool. Проведіть накладання параболи на графік та за коефіцієнтом A розрахуйте значення кутового прискорення ε = 2А. Запишіть значення до таблиці
  6. За формулою (4) розрахуйте значення моменту сил M. Запишіть значення до таблиці.
  7. Для отримання всіх попередніх даних для інших вантажів проведіть усі попередні кроки для інших трьох записів. Усі дані записуйте до таблиці.
  8. Перенесіть отримані дані чотирьох експериментів для моментів сил М та кутових прискорень ε у математичні таблиці Excel.
  9. Побудуйте точкову діаграму для цих даних та впишіть лінію тренду, використовуючи інструменти математичних таблиць.
  10. За отриманим рівнянням лінії тренду визначте значення моменту інерції диска I та моменту сил тертя на осі Мтр. Отриманий результат занесіть до таблиці та сформулюйте висновок до роботи.

Рис. 7. Вигляд вікна математичних таблиць Excel

Таблиця результатів 

Маса вантажу

m,(кг)

Радіус шківа

r, (м)

Прискорення руху вантажу

а, (м/с2)

Кутове прискорення диска

ε, (рад/с2)

Момент сил

М (Н∙м)

Експериментальне значення моменту інерції диска

Jекс (кг∙м2)

Момент сил тертя

М тр (Н∙м)

1. 0,1 0,022
2. 0,15
3. 0,2
4. 0,25