Визначення жорсткості пружини за допомогою математичних маятників

Avatar
Автор Daryna Sych
Рівень складності Легкий
Рівень небезпеки Безпечно
Доступність використовуваних матеріалів Можливо виконати в домашніх умовах
Орієнтовний час на виконання роботи До 1 години

Блок 1. Резюме

Завдання проєкту:

  1. Створити відеозаписи 5-6 експериментів з пружиною невідомої жорсткості, розміщеною між двома математичними маятниками.
  2. Визначити циклічну частоту коливань зазначеної системи, використовуючи програмне забезпечення для відеоаналізу.
  3. Розрахувати жорсткість пружини.

Блок 2. Попередня інформація

Два математичні маятники, зв’язані пружиною, є одним з найпростіших прикладів зв’язаних систем.

Рівняння руху кожного з цих маятників мають вигляд:

x1(t) = B cos(ωоt + φ0) + A cosωt;

x1(t) = B cos(ωоt + φ0) – A cosωt.

Розглянемо випадок, коли маятники відхилені на однакову відстань у протилежні сторони.

Знехтувавши втратами енергії в системі, можна записати:

(за умови, що відхилення від положення рівноваги є незначним).

Спростивши та продиференціювавши цю рівність, отримуємо рівняння гармонічних коливань:

Довжину підвісу l можна виміряти безпосередньо, а для знаходження циклічної частоти 𝜔 скористаємося програмою Tracker.

Блок 3. Обладнання

2 однакові математичні маятники, пружина невідомої жорсткості, штатив,  лінійка, відеокамера/телефон, ПК, Tracker.

Блок 4. Експериментальна процедура

І. Отримання відеозапису.

  1. Змонтуйте установку. Закріпіть у площині зйомки лінійку або об’єкт відомих розмірів.
  2. Установіть пристрій так, щоб установка повністю потрапляла в кадр і в процесі зйомки пристрій не рухався.
  3. Площина руху системи має бути перпендикулярною до об’єктива.
  4. Відведіть математичні маятники на однакову відстань та протилежні сторони один відносно одного від положення рівноваги та розпочніть відеозйомку.
  5. Отримайте декілька відео, змініть довжину підвісу маятників та повторіть крок (4).

ІІ. Опрацювання відео.

  1.  Завантажте відео у програму Tracker.
  2. Перегляньте отриманий відеозапис та у вікні Clip Settings установіть номер кадру, з якого буде відслідковуватися рух маятника, номер кадру, яким закінчуватиметься відеозапис, та частоту кадрів.
  3. Установіть координатні осі. Початок координат сумістіть із положенням рівноваги одного з математичних маятників.
  4. За допомогою відрізка Calibration Stick задайте розміри лінійки. Натисканням на ліву кнопку миші та клавішу Shift створіть відрізок. Кінці відрізка за допомогою миші перемістіть до виміряного об’єкта та задайте його розміри в метрах.

5. Для відстежування руху вантажу оберіть у верхньому меню кнопку Create і у меню – Point Mass. У лівому кутку з’явиться вікно Track Control. Натисніть клавішу Shift. Сумістіть  рамку з точкою на маятнику, за якою ви буде стежити.

6. Поверніться на попередній кадр.

7. Затисніть клавіші Shift  і Ctrl. На екрані з’явиться вікно автотрекінгу.

8. Оберіть у вікні автотрекінгу кнопку Search і дочекайтеся, доки програма закінчить обробку даних.

9. З правого боку з’являться графік і таблиця.

Блок 5. Аналіз отриманих даних

  1. Оберіть у верхньому меню View → Data Tool (Analyze…).
  2. Графік руху x(t) є синусоїдою, тому він матиме вигляд:   x= A sin(Bt + C).
  3. Коефіцієнт  B=𝜔.
  4. За допомогою вкладки Analyze – Curve Fits визначте коефіцієнт B.
  5. При недостатньо точній апроксимації можна визначити циклічну частоту за допомогою формули

    ω = 2π/Τ.

  6. Для цього у вікні Data Tool  необхідно вибрати вкладку Measure – Coordinates; зчитати час над першим максимумом, перемістити курсор та зчитати час над іншим максимумом. Розрахувати період слід, розділивши інтервал часу на кількість повних коливань. Далі знайти циклічну частоту 𝜔.
  7. Перенесіть отримані дані до таблиці.
  8. Повторіть попередні кроки для інших відеозаписів.
  9. Знайдіть коефіцієнт жорсткості за допомогою виразу (1) та обчисліть середню жорсткість.
    Довжина підвісу нитяних маятників,   l (м) Циклічна частота коливань,   w (Гц) Коефіцієнт жорсткості, k (Н/м)
    0,44 4,681 0,87
    4,657 0,87
    4,677 0,87
    4,66 0,87
    4,76 0,90
    0,35 4,68 0,87
    4,91 0,96
    4,76 0,90

    kсер = 0,89 Н/м.

Блок 6. Напрями розвитку

Отже, за допомогою цього методу можна визначити жорсткість пружин, у яких коефіцієнт жорсткості має надто мале значення, щоб бути визначеним за допомогою динамометра або безпосереднього підвішування тягарців.

Проте під час роботи досить важко забезпечити однакове відхилення маятників від положення рівноваги, що відображається на графіку коливання маятника і подальших труднощах при апроксимації та визначенні циклічної частоти.