Вивчення законів коливань математичного та фізичного маятника
Завдання роботи:
- Вивчити закони коливань математичного та фізичного (оборотного) маятників.
- Експериментально виміряти періоди власних коливань маятників та прискорення вільного падіння.
- Визначити положення центра мас фізичного маятника.
Обладнання:
установка ФМ-13М «Маятник універсальний», лінійка.
Основні терміни та поняття
Коливання. Гармонічні коливання Механічні коливання Математичний маятник ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ МАЯТНИКІВ – ГАРМОНІЧНІ КОЛИВАННЯ
Теоретична частина
Маятником звичайно називають тіло, що здатне коливатися під дією сили тяжіння відносно точки або осі підвісу.
Математичним маятником називається тіло, підвішене на невагомій і нерозтяжній нитці, довжина якої значно більша за розміри цього тіла, і здатне коливатися відносно точки підвісу. За таких умов, підвішене на нитці тіло може розглядатися як матеріальна точка.
Фізичним маятником називається тіло довільної форми, яке може коливатися відносно горизонтальної осі підвісу, що проходить вище центра тяжіння цього тіла.
Якщо маятник відхилити від положення рівноваги (коли центр тяжіння тіла маятника і точка підвісу лежать на одній вертикальній прямій) на невеликий кут φ0 від вертикалі (φ0 < 50) і відпустити, то маятник почне коливатися у вертикальній площині за гармонічним законом (за законом синуса або косинуса):
(1)
де ω – це циклічна частота коливань, яка вимірюється в радіанах на секунду. Максимальне відхилення маятника від положення рівноваги (від вертикалі) називається амплітудою коливань. Для нашого випадку амплітуда коливань дорівнює початковому відхиленню маятника φ0.
Проміжок часу, за який маятник здійснює одне повне коливання (тобто маятник, здійснивши рух «вперед-назад», повертається у початкове положення), називається періодом коливань T (вимірюється в секундах):
(2)
Період коливань математичного маятника дорівнює
(3)
де l – це довжина нитки підвісу маятника, а g – прискорення вільного падіння.
Період коливань фізичного маятника дорівнює
(4)
де I – це момент інерції тіла маятника відносно осі підвісу, а l – відстань від центра мас маятника до осі підвісу.
Якщо маятником є однорідний прямий стержень маси m і довжини L, підвішений за один із його кінців, то його момент інерції відносно осі підвісу дорівнюватиме
(5)
а відстань від центра мас такого маятника до осі підвісу буде дорівнювати l = L/2.
Якщо ж маятником є підвішене на нитці тіло, розміри якого значно менші за довжину нитки l (тобто це буде математичний маятник), то в цьому випадку
(6)
і для визначення періоду коливань після математичних перетворювань буде одержано формулу (3).
Експериментальна установка для дослідження коливань фізичного та математичного маятників – це вертикальна стійка, закріплена на горизонтальній основі. До стійки кріпиться верхній кронштейн, до протилежних плечей якого підвішені математичний і фізичний маятники, та рухомий нижній кронштейн з фотоелектричним датчиком (оптопарою). На вертикальну стійку нанесено міліметрову шкалу. Установка працює разом з електронним блоком.
Математичний маятник – це металева кулька, підвішена на капроновій нитці на біфілярному підвісі. Довжину маятника можна змінювати за допомогою регулювальних гвинтів біфілярного підвісу.
Фізичний (оборотний) маятник складається з металевого стержня, на який нанесені риски через кожні 10 мм для відліку довжини, двох пересувних вантажів та двох пересувних призматичних опор.
Електронний блок використовується для автоматизації вимірювань. До нього підключають фотоелектричний датчик. Блок має кнопки керування і цифрове табло. За допомогою кнопок керування здійснюється запуск відліку часу коливань маятника та кількості коливань, стирання попередніх результатів вимірювань (обнулення). На цифровому табло відображається кількість повних коливань маятника та загальна тривалість повних коливань (кратна періоду коливань).
Загальний вигляд експериментальної установки з обома маятниками наведений на рис. 1.
Рис. 1. Установка ФМ-13М «Маятник універсальний»
Хід роботи
- Вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника.
1.1. Підключіть фотоелектричний датчик до електронного блока за допомогою кабелю.
1.2. Виставте основу лабораторної установки строго горизонтально за допомогою трьох регулювальних гвинтів і водяного рівня.
1.3. Зніміть фізичний (оборотний) маятник з верхнього кронштейна. Встановіть нижній кронштейн з фотоелектричним датчиком у крайнє нижнє положення вертикальної стійки зі шкалою так, щоб площина кронштейна, пофарбована у червоний колір, збігалася з однією із рисок шкали.
1.4. Установіть верхній кронштейн так, щоб кулька математичного маятника опинилася в робочій зона фотодатчика. Відрегулюйте довжину ниток біфілярного підвісу маятника так, щоб центр кульки збігався за висотою з віконцем датчика.
1.5. За шкалою вертикальної стойки визначте довжину математичного маятника l1, врахувавши, що точкам закріплення ниток маятника відповідає поділка 450 мм на вертикальній шкалі. Запишіть довжину маятника до таблиці результатів.
1.6. Натисніть кнопку «Сеть» на електронному блоці. При цьому має увімкнутися табло індикації. Відхиліть рукою кульку математичного маятника на кут 5–60 від вертикалі і відпустіть її.
1.7. Натисніть кнопку «Пуск» на блоці і переконайтеся в тому, що він реєструє кількість та час коливань маятника.
1.8. Натисніть кнопку «Стоп» на блоці і переконайтеся, що відлік часу і кількості періодів коливань припиняється в момент закінчення чергового періоду коливань. Натисніть кнопку «Сброс» на блоці.
1.9. Запустіть коливання математичного маятника, відхиливши кульку на кут 5–60 від вертикалі, після чого натисніть кнопку «Пуск» на блоці.
1.10. За показами таймера визначте тривалість 20–30 коливань маятника, натиснувши кнопку «Стоп». Запишіть час та кількість коливань до таблиці результатів.
1.11. За допомогою регулювальних гвинтів біфілярного підвісу підніміть кульку математичного маятника вгору приблизно на 5 см.
1.12. Підніміть і встановіть верхній кронштейн так, щоб кулька математичного маятника опинилася в робочій зона фотодатчика. Відрегулюйте довжину ниток біфілярного підвісу маятника так, щоб центр кульки збігався за висотою з віконцем датчика.
1.13. За шкалою вертикальної стійки визначте довжину математичного маятника l2.
1.14. Повторіть вимірювання згідно з пп. 1.9 та 1.10.
- Вимірювання прискорення вільного падіння за допомогою фізичного (оборотного) маятника.
2.1. На стержні фізичного (оборотного) маятника закріпіть симетрично дві призматичні опори (гострими опорними гранями назустріч) на відстані приблизно 5 см від кінців стержня. Закріпіть на стержні два вантажі так, щоб один з них розташовувався між призматичними опорами, а інший – між опорою і кінцем стержня.
2.2. Підвісьте оборотний маятник на призматичній опорі, по один бік від якої розташовуються обидва вантажі (опора № 1). Розверніть верхній кронштейн на 1800 так, щоб нижній кінець стержня маятника потрапив у робочу зону фотодатчика.
2.3. Натисніть кнопку «Сброс» на електронному блоці.
2.4. Відхиліть стержень маятника на кут 5–60 від вертикалі і без поштовху його відпустіть, після чого натисніть кнопку «Пуск» на блоці.
2.5. За показами таймера визначте тривалість 20–30 коливань маятника, натиснувши кнопку «Стоп».
2.6. Переверніть маятник і підвисьте його за іншу призматичну опору (опора № 2), що розташовується між вантажами. Повторіть вимірювання згідно з пп. 2.4 та 2.5.
2.7. Переміщенням призматичної опори № 2 вздовж стержня досягніть рівності періодів коливань маятника при його коливаннях на кожній з двох опор з похибкою, не більшою за 0,5%.
2.8. Визначте відстань між призматичними опорами lзв за допомогою лінійки та запишіть її значення до таблиці результатів.
- Вивчення законів коливань математичного та фізичного (оборотного) маятників, вимірювання періодів власних коливань та визначення положення центра мас фізичного маятника.
3.1. Закріпіть вантажі у довільному положенні на стержні фізичного маятника.
3.2. Визначте періоди коливань оборотного маятника T1 і T2 згідно з пп. 2.2–2.6.
Аналіз даних
- Визначте середнє значення періоду коливань маятника за формулою:
(7),
де t – тривалість коливань (у секундах), а n – кількість коливань.
- Знайдіть експериментальне значення прискорення вільного падіння ge за формулою:
(8)
- Визначте відносну похибку вимірювання прискорення вільного падіння, порівнюючи його теоретичне й експериментальне значення за формулою:
(9)
- Розрахуйте експериментальне значення прискорення вільного падіння для фізичного маятника ge за формулою:
(10)
де lзв – зведена довжина оборотного маятника (відстань між опорними гранями двох призматичних опор).
- Визначте відносну похибку вимірювання прискорення вільного падіння, порівнюючи його теоретичне й експериментальне значення за формулою (9).
- Визначте відстань l від центра мас маятника до точки підвісу за формулою:
(11)
Таблиці результатів
Таблиця 1. Результати визначення прискорення вільного падіння за допомогою математичного маятника
l1, м | l2, м | t1, с | t2, с | n1 | n2 | T1, с | T2,с | ge, м/с2 | ηg, % |
Таблиця 2. Результати визначення прискорення вільного падіння за допомогою фізичного маятника
lзв, м | t, с | n | T, с | ge, м/с2 | ηg, % |
Таблиця 3. Результати визначення положення центра мас фізичного маятника
l1, м | l2, м | t1, с | t2, с | n1 | n2 | T1, с | T2, с | l, м |