Вимірювання моменту інерції кілець маятника Максвела

Автор Чернецький Ігор
Завідувач відділу створення навчально-тематичних систем знань НЦ «Мала академія наук України», кандидат педагогічних наук, голова Всеукраїнської громадської організації «Асоціація учителів фізики “Шлях освіти – ХХІ”». Наукові інтереси: моделювання освітніх та навчальних середовищ загальноосвітніх і позашкільних навчальних закладів з урахуванням трендів розвитку сучасних засобів навчання.

Теоретична частина

Рис. 1. Зовнішній вигляд вікна програми Tracker

У цій роботі зазначене програмне забезпечення буде використовуватися для визначення моменту інерції додаткових кілець, що приєднуються до маятника Максвела.

Під час руху маятника потенціальна енергія перетворюється на кінетичну енергію поступального та обертового руху. Маятник складається з основи у вигляді диску, насадженого на металеву вісь, та додаткових металічних кілець, які кріпляться на диск. Вісь маятника підвішена на однакових за довжиною нитках. На початку нитки намотуються на вісь маятника, і вісь утримується магнітним підвісом. Після звільнення осі розпочинається рух маятника у вертикальній площині під дією сили тяжіння та натягу ниток. У процесі цього руху маятник набуває прискорення поступального руху і кутового прискорення. Виходячи з основного рівняння динаміки руху основи маятника, отримуємо вираз для визначення її моменту інерції:

  (1),

де  I _осн – момент інерції основи маятника,  m _осн – маса основи маятника (у нашому випадку 0,15 кг), g – прискорення вільного падіння, a _осн – прискорення поступального руху основи маятника, r _осн – радіус осі основи маятника (у нашому випадку 0,0033 м).

Коли на диск маятника насаджують додаткові кільця, утворюється система, момент інерції якої розраховується за виразом:

  (2),

де  І _сис  – момент інерції системи, m _кіл – маса кільця, а _сис  – прискорення поступального руху системи.

Момент інерції допоміжного кільця, закріпленого на основі маятника, визначається згідно з виразом:

  (3).

Для теоретичного розрахунку моменту інерції кільця використовується вираз:

  (4),

де R₁ та R₂ – внутрішній та зовнішні радіуси кільця.

Отже, робота зводиться до визначення прискорення поступального руху осі маятника за відсутності кілець та за їхньої наявності. Значення цього прискорення визначається інструментами програми для аналізу відеозображень.

Хід роботи

Частина 1. Отримання відеозапису 

1. Установіть маятник Максвела та вирівняйте вертикальне положення його штатива. Залиште тільки основу маятника у вигляді диску, насадженого на вісь. Намотайте нитку на вісь маятника, піднявши його на рівень магнітного кріплення. Занотуйте до таблиці масу основи маятника та радіус його осі разом із намотаною ниткою. Розташуйте поряд штатив із приєднаною вертикально лінійкою.
2. Оберіть пристрій, яким ви будете виконувати відеозйомку. З’ясуйте якість об’єктива для подальшого врахування можливих спотворень. Використайте стандартну частоту зйомки відео (25-30 кадрів на секунду).
3. Установіть пристрій так, щоб установка повністю потрапляла в кадр і в процесі зйомки пристрій не рухався.
4. Розпочніть запис відео та вільно відпустіть основу маятника. Після кількох коливань зупиніть запис. Зробіть ще декілька записів для можливості вибору найкращого варіанту.
5. Приєднайте до основи маятника по черзі всі кільця та повторіть попередні дії.
6. У разі відсутності можливості відеозапису завантажте готове відео з ресурсу. 

Частина 2. Опрацювання відео

7. Завантажте відео у програму Tracker. Завантаження здійснюється з використанням кнопки Open у верхньому меню програми.

8. Завантаження можна здійснити також шляхом «перетягування» файлу запису у вікно програми або через меню File → Import → Video. Якщо програма не дозволила завантажити відео, необхідно дібрати інший його формат, що здійснюється шляхом використання редакторів відео.

Рис. 2. Вигляд вікна програми Tracker після завантаження відео 

9. Використовуючи кнопки керування в нижній частині вікна з відео, перегляньте запис.
10. Якщо об’єктив пристрою для зйомки дає спотворення зображення, використайте відповідний фільтр відео.

11. Установіть номер кадру, з якого розпочався рух маятника, та номер кадру, коли маятник дійшов до нижньої точки. Лічильник кадрів розташований у стрічці кнопок керування у вікні відеозапису.
12. Оберіть у верхній стрічці кнопку Clip Settings . Випаде вікно встановлення меж кадрів відеозапису. Зазначте в ньому номер початкового та кінцевого кадру, крок зміни кадрів (якщо кадрів багато, то крок дає змогу зменшити кількість кадрів для аналізу) та частоту зйомки (за замовчуванням програма сама обирає цей параметр із властивостей відеозапису). Оберіть Ok.

13. Оберіть у верхній стрічці кнопку Show or hide the coordinate axes . На відеозаписі з’являться осі координат. Центр системи координат перетягніть у точку, що якнайкраще відповідатиме ситуації. Наприклад, сумістіть її з центром осі маятника на початку руху. Поверніть систему координат так, щоб додатний напрямок осі Ох збігався з вертикаллю. Додатний напрямок на осі визначається короткою рискою на ній. Повторно оберіть кнопку Show or hide the coordinate axes. Система координат зникне, але її положення програма запам’ятовує.

Рис. 3. Вигляд вікна програми Tracker після встановлення положення системи координат

14. Оберіть у верхній стрічці кнопку Show, hide or create calibration tools та в меню – New → Calibration Stick . Програма запропонує, утримуючи клавішу Shift, обрати на зображенні першу та другу точку для одиничного відрізка. На відео з’явиться відрізок. Над відрізком необхідно в цифровому полі ввести значення довжини цього відрізка в метричній системі. Кінці відрізка можна вільно переміщувати «перетягуванням» по зображенню. Оберіть повторно кнопку Show, hide or create calibration tools . Одиничний відрізок зникне, але програма запам’ятає його положення та довжину.

Рис. 4. Вигляд вікна програми Tracker після встановлення одиничного відрізка

15. Для відстежування руху тіла оберіть у верхньому меню кнопку Create і у меню – Point Mass.

16. У лівому кутку з’явиться вікно Track Control.
17. Натисніть клавішу Shift. Курсор набуде вигляду невеликої рамки. Сумістіть цю рамку з точкою, за якою ви буде стежити (маркером на осі маятника), і натисніть ліву кнопку маніпулятора. На зображенні з’явиться маркер точки, і програма автоматично перейде на наступний кадр. Поверніть запис на перший кадр та оберіть у верхньому меню функцію автотрекінгу, натиснувши кнопку .
18. У робочому вікні з’явиться вікно автотрекінгу.
19. У цьому вікні зазначається, що буде відслідковуватися матеріальна точка, яку позначили на першому кадрі. Для подальшого автоматичного відстежування точки необхідно визначити ключовий кадр запису. Натисніть одночасно клавіші Ctrl і Shift. Курсор змінить свій зовнішній вигляд на коло з перехрестям. Укажіть маніпулятором точку і натисніть ліву кнопку маніпулятора. Навколо точки через певний час з’являться коло та пунктирна рамка. Коло буде охоплювати тіло, а рамка вказуватиме окіл на зображенні, в якому програма автоматично шукатиме його присутність. Розмір кола і рамки можна змінювати. У вікні автотрекінгу з’явиться збільшене зображення тіла на першому та наступному кадрі. Якість автотрекінгу залежить від того, наскільки змінюватиметься зображення тіла на кожному кадрі. У разі критичної зміни програма зупинить відстежування тіла і запропонує змінити окіл відстежування.
20. Оберіть у вікні автотрекінгу кнопку Search і дочекайтеся результату. Якщо кількість кадрів для аналізу значна, це потребуватиме певного часу. Якщо при відстежуванні трапився збій, видалити попередні точки можна, обравши в цьому вікні кнопку Delete. Якість роботи автотрекінгу визначається багатьма умовами, але головною є контрастність зображення тіла щодо заднього фону. Після завершення роботи автотрекінгу закрийте його вікно.
21. У вікнах правої частини з’являться графік і таблиця, з якими надалі буде проводитися аналіз отриманих даних.

Аналіз даних

1. Оберіть у верхньому меню View → Data Tool (Analyze…).
2. З’явиться нове вікно Data Tool з графіком і таблицею.

Рис. 5. Вигляд вікна Data Tool після накладання параболи

3. Оскільки графік x(t) є частиною параболи, то рух, який він описує, буде рівноприскореним. Рівняння руху тіла в такому випадку матиме вигляд квадратичної функції x(t) = at²/2 + v₀t + x₀ . У загальному вигляді функція має запис f(x) = Ax² + Bx + C. Бачимо, що коефіцієнт A = a/2, а В = v₀. Звідси прискорення a = 2A. Для визначення прискорення руху тіла необхідно знайти коефіцієнт А і помножити його на 2. Для визначення коефіцієнтів накладемо на графік параболу.
4. Оберіть вкладинку Analyse → Curve Fits та в нижній частині вікна Fit Name → Parabola. Поверх графіку руху з’явилася парабола та під нею – значення коефіцієнтів. Зверніть увагу на те, щоб біля надпису Autofit обов’язково стояв маркер. Це означає, що програма самостійно добере положення параболи.
5. Розрахуйте прискорення руху основи а_осн за коефіцієнтом А. Запис значення коефіцієнта здійснюється у стандартному вигляді. Занотуйте значення до таблиці.
6. Повторіть попередні кроки для відеозаписів з іншими кільцями та визначте прискорення поступального руху системи для цих випадків.
7. Занотуйте до таблиці значення маси всіх кілець (у нашому випадку m₁ = 0,135 кг, m₂ = 0,275 кг, m₃ = 0,370 кг). За допомогою лінійки визначте внутрішній R₁ та зовнішній R₂ радіус кілець. Значення запишіть до таблиці.
8. За експериментальними даними за допомогою формули (1) розрахуйте момент інерції основи маятника I_осн. За допомогою формули (2) розрахуйте момент інерції системи для кожного кільця. За допомогою формули (3) розрахуйте експериментальні значення моменту інерції кожного з кілець. Запишіть значення до таблиці.
9. Використовуючи вираз (4) для моменту інерції кільця, розрахуйте теоретичний момент інерції кожного кільця I_кіл. Запишіть значення до таблиці.
10. Порівняйте експериментальні значення моментів інерції з теоретично розрахованими значеннями та зробіть висновок. 

Таблиця результатів