Вимірювання моменту інерції тіла (варіант 1)

Автор Чернецький Ігор
Завідувач відділу створення навчально-тематичних систем знань НЦ «Мала академія наук України», кандидат педагогічних наук, голова Всеукраїнської громадської організації «Асоціація учителів фізики “Шлях освіти – ХХІ”». Наукові інтереси: моделювання освітніх та навчальних середовищ загальноосвітніх і позашкільних навчальних закладів з урахуванням трендів розвитку сучасних засобів навчання.

Теоретична частина

Рис. 1. Зовнішній вигляд вікна програми Tracker

У цій роботі зазначене програмне забезпечення буде використовуватися для визначення моментів інерції суцільної кулі та циліндра. При скочуванні їх із похилого жолобу потенціальна енергія перетворюється на кінетичну енергію поступального руху та кінетичну енергію їхнього обертання. За відсутності втрат енергії можна застосувати закон збереження механічної енергії, щоб отримати вираз для розрахунку моменту інерції кулі та циліндра за експериментальними даними.

Нехай нульовий рівень потенціальної енергії відповідатиме положенню тіла у точці 2 (рис. 2). У положенні 1 повна енергія тіла рівна його потенціальній енергії у полі сил земного тяжіння:

 (1),

де m – маса тіла, h – висота центру мас тіла над нульовим рівнем.

У положенні 2 повна енергія тіла буде складатися з кінетичної енергії поступального та обертового руху:

(2),

де v – швидкість тіла в точці 2, J – момент інерції тіла, ω – кутова швидкість обертання тіла в точці 2.

Прирівнюючи повну енергію в точці 1 та 2 та виразивши кутову швидкість обертання тіла ω через лінійну швидкість поступального руху v і радіус тіла r, отримаємо вираз для моменту інерції тіла:

(3),

який буде використано для розрахунків.

Рис. 2. Ілюстрація до виводу співвідношень

Хід роботи

 Частина 1. Отримання відеозапису 

1. Установіть штатив та закріпіть у ньому жолоб. Бажано, щоб на поверхні жолобу були добре видимі помітки.
2. Оберіть пристрій, яким ви будете виконувати відеозйомку. З’ясуйте якість об’єктива для подальшого врахування можливих спотворень. Використайте максимально можливу частоту зйомки відео (240-1000 кадрів на секунду).
3. Установіть пристрій так, щоб жолоб та тіло повністю потрапляли в кадр і в процесі зйомки пристрій не рухався.
4. Розпочніть запис відео та вільно відпустіть тіло. Зробіть ще декілька записів для можливості вибору найкращого варіанту.
5. У разі відсутності можливості відеозапису завантажте готове відео з ресурсу. 

Частина 2. Опрацювання відео

6. Завантажте відео у програму Tracker. Завантаження здійснюється з використанням кнопки Open у верхньому меню програми.
7. Завантаження можна здійснити також шляхом «перетягування» файлу запису у вікно програми або через меню File → Import → Video. Якщо програма не дозволила завантажити відео, необхідно дібрати інший його формат, що здійснюється шляхом використання редакторів відео.

Рис. 3. Вигляд вікна програми Tracker після завантаження відео 

8. Використовуючи кнопки керування в нижній частині вікна з відео, перегляньте запис.

9. Якщо об’єктив пристрою для зйомки дає спотворення зображення, використайте відповідний фільтр відео.

10. Установіть номер кадру, з якого розпочався рух тіла, та номер кадру, коли тіло майже скотилося з похилого жолобу. Лічильник кадрів розташований у стрічці кнопок керування у вікні відеозапису.

11. Оберіть у верхній стрічці кнопку Clip Settings . Випаде вікно встановлення меж кадрів відеозапису. Зазначте в ньому номер початкового та кінцевого кадру, крок зміни кадрів (якщо кадрів багато, то крок дає змогу зменшити кількість кадрів для аналізу) та частоту зйомки (за замовчуванням програма сама обирає цей параметр із властивостей відеозапису). Оберіть Ok.

12. Оберіть у верхній стрічці кнопку Show or hide the coordinate axes . На відеозаписі з’являться осі координат. Центр системи координат перетягніть у точку, що якнайкраще відповідатиме ситуації. Наприклад сумістіть її з центром тіла на початку руху. Осі координат можуть повертатися. Програйте момент руху до кінцевого кадру та «проверніть» вісь так, щоб вона проходила через цю саму точку на кінцевому кадрі. Повертати систему координат можна, обравши вісь маніпулятором. Додатний напрямок на осі визначається короткою рискою на ній. Повторно оберіть кнопку Show or hide the coordinate axes . Система координат зникне, але її положення програма запам’ятовує.

Рис. 4. Вигляд вікна програми Tracker після встановлення положення системи координат

13. Оберіть у верхній стрічці кнопку Show, hide or create calibration tools та в меню – New → Calibration Stick. Програма запропонує, утримуючи клавішу Shift, обрати на зображенні першу та другу точку для одиничного відрізка. На відео з’явиться відрізок. Над відрізком необхідно в цифровому полі ввести значення довжини цього відрізка в метричній системі. Кінці відрізка можна вільно переміщувати «перетягуванням» по зображенню. Оберіть повторно кнопку Show, hide or create calibration tools . Одиничний відрізок зникне, але програма запам’ятає його положення та довжину.

Рис. 5. Вигляд вікна програми Tracker після встановлення одиничного відрізка

14. Для відстежування руху тіла оберіть у верхньому меню кнопку Create і у меню – Point Mass.

15. У лівому кутку з’явиться вікно Track Control.

16. Натисніть клавішу Shift. Курсор набуде вигляду невеликої рамки. Сумістіть цю рамку з точкою, за якою ви буде стежити, і натисніть ліву кнопку маніпулятора. На зображенні з’явиться маркер точки і програма автоматично перейде на наступний кадр. Повторюйте ці кроки до останнього обраного кадру.

Рис. 6. Вигляд вікна програми Tracker після відстежування руху тіла

17. У вікнах правої частини з’являться графік і таблиця, з якими надалі буде проводитися аналіз отриманих даних. Якщо вісь координат Оx обрана вздовж руху тіла і спрямована в напрямку його руху, то графік матиме такий вигляд, як на рис. 6.

Аналіз даних

1. Оберіть у верхньому меню View → Data Tool (Analyze…).

2. З’явиться нове вікно Data Tool з графіком і таблицею.

Рис. 7. Вигляд вікна Data Tool після накладання параболи

3. Оскільки графік x(t) є частиною параболи, то рух, який він описує, буде рівноприскореним. Рівняння руху тіла у такому випадку матиме вигляд квадратичної функції x(t) = at²/2 + v₀t + x₀ . У загальному вигляді функція має запис f(x) = Ax² + Bx + C . Бачимо, що коефіцієнт A = a/2 , а В = v₀. Звідси прискорення a = 2A.  Для визначення прискорення руху тіла необхідно знайти коефіцієнт А і помножити його на 2. Для визначення коефіцієнтів накладемо на графік параболу.
4. Оберіть вкладинку Analyse → Curve Fits та в нижній частині вікна Fit Name → Parabola. Поверх графіку руху з’явилася парабола та під нею – значення коефіцієнтів. Зверніть увагу на те, щоб біля надпису Autofit обов’язково стояв маркер. Це означає, що програма самостійно добере положення параболи.
5. Розрахуйте прискорення руху тіла за коефіцієнтом А. Запис значення коефіцієнта здійснюється у стандартному вигляді.
6. Розрахуйте кінцеву швидкість тіла за виразом:

v = v₀ + at (4),

де t – це час, що відповідає найнижчому положенню тіла. Цей час визначається за таблицею у вікні Data Tool. Запишіть значення кінцевої швидкості до таблиці.

7. Закрийте вікно Data Tool та поверніть систему координат так, щоб вісь Ох стала горизонтальною. Контроль за положенням осей здійснюється за надписом у верхній частині меню.
8. У правому полі графіка оберіть біля вертикальної осі надпис у.
9. Відкрийте вікно Data Tool та залиште в табличному полі тільки помітки, що відповідають координаті по осі Оу. Визначте відстань, на яку змістилося тіло по вертикалі. Ця відстань і буде висотою h. Запишіть значення до таблиці.
10. За допомогою терезів визначте масу тіла m (m_к = 0,057 кг, m_ц = 0,076 кг). За допомогою лінійки визначте радіус тіла r (r_к = 0,022 м, r_ц = 0,024 м). Значення запишіть до таблиці.
11. За експериментальним даними розрахуйте момент інерції тіла J_екс , використовуючи формулу (3). Запишіть значення до таблиці.
12. Використовуючи стандартний вираз для моменту інерції тіл правильної форми, розрахуйте теоретичний момент інерції тіла J_теор. Запишіть значення до таблиці.
13. Повторіть кроки частин 2 та 3 для іншого тіла. Порівняйте експериментальні значення моментів інерції із теоретично розрахованими значеннями та зробіть висновок.

Таблиця результатів